Matemática discreta Ejemplos

$4 x - 2 y = 11$ , $2 x - 2 y = 2$

Paso 1

Resuelve $x$ en $4 x - 2 y = 11$ .

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Paso 1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 11 + 2 y$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2

Divide cada término en $4 x = 11 + 2 y$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.2.1

Divide cada término en $4 x = 11 + 2 y$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 1.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 (y)}{4}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{2 \cdot 2}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{11}{4} + \frac{2 y}{2 \cdot 2}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 1.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$2 x - 2 y = 2$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{11}{4} + \frac{y}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $2 x - 2 y = 2$ por $\frac{11}{4} + \frac{y}{2}$ .

$2 (\frac{11}{4} + \frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $2 (\frac{11}{4} + \frac{y}{2}) - 2 y$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (\frac{11}{4}) + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 (\frac{11}{2 (2)}) + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{11}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{2} + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{11}{2} + 2 (\frac{y}{2}) - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{11}{2} + y - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} + y - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} + y - 2 y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 2.2.1.2

Resta $2 y$ de $y$ .

$\frac{11}{2} - y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} - y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} - y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$\frac{11}{2} - y = 2$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{11}{2} - y = 2$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $\frac{11}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y = 2 - \frac{11}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$- y = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$- y = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- y = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$- y = \frac{4 - 11}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.5.2

Resta $11$ de $4$ .

$- y = \frac{- 7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$- y = \frac{- 7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$- y = - \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2

Divide cada término en $- y = - \frac{7}{2}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $- y = - \frac{7}{2}$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 1}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- \frac{7}{2}}{- 1}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{7}{2}}{- 1}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{- \frac{7}{2}}{- 1}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y = \frac{\frac{7}{2}}{1}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 3.2.3.2

Divide $\frac{7}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $\frac{7}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{11}{4} + \frac{y}{2}$ por $\frac{7}{2}$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{\frac{7}{2}}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{11}{4} + \frac{\frac{7}{2}}{2}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x = \frac{11}{4} + \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Multiplica $\frac{7}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{7}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{11}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{11}{4} + \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{11 + 7}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Suma $11$ y $7$ .

$x = \frac{18}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Cancela el factor común de $18$ y $4$ .

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Paso 4.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $18$ .

$x = \frac{2 (9)}{4}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 4.2.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

$x = \frac{9}{2}$

$y = \frac{7}{2}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{9}{2}, \frac{7}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{9}{2}, \frac{7}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{9}{2}, y = \frac{7}{2}$

Paso 7